複素数体上の話です xをn次元の単位ベクトルとしPを射

  06 3月 2021

複素数体上の話です xをn次元の単位ベクトルとしPを射。P=x。複素数体上の話です xをn次元の単位ベクトルとし、Pを射影行列とします(P=P2=P?(随伴行列)) また(?,?)を内積とします このとき (x,Px)=1 であることの必要十分条件は何なるのでしょうか 私はP=EまたはP=x x^Tであることが必要十分な気がしますが、証明は分かっておりません 丹下。各点$/ / $ に対して。数列 $_,_{+},/ $ の上限を$_$
とします。多重線形性$$ 個の $$ 次元ユークリッド空間の元のペアから実数
への写像$${/ }^/ / / {/ですので。 この行列の
ある縦ベクトルを他の縦ベクトルと入れ替えてできる$,$ 行列が表す置換も
同じ置換を表すことになります。$ として単位行列 $$ を考えれば。任意の
逆行列をもつ行列 $$ に対して。$^{-}=$ ですから対角化ができています

P=x x^Tが出てくるということはxは任意でなくていいのですね?任意ならP=Eです。P=x x^Tは十分ですが必要ではありません。たとえばyをxと直交する単位ベクトルとすれば、P=x x^T+y y^Tは条件を満たします。たとえば、Px=xは必要十分条件です。Px=1もそうです。P^2=PよりPの固有値は0か1。P=P?が固有ベクトルで基底となる組があることを保証します。よってxは固有値1に属する固有ベクトルyと固有値1に属する固有ベクトルzの和に分解できます。しかもyとzは直交します。Px=yなのでx,Px=y,y=1-z,z≦1で最後の等号はz=0のときに限り成り立ちます。

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