Discuss fx=1 1<x=<0x+1

  07 3月 2021

Discuss fx=1 1<x=<0x+1。周期T=2Lft=a[0]/2+Σ[k=1→∞]a[k]coskπt/L+b[k]sinkπt/La[k]=1/L∫[。f(x)=1( 1<x=<0)

x+1(0<x=<1)

と定義されたフーリエ級数を求めなさいという問題が分かりません Is。+ +^/fx=1。If。=-+ ≠ =, = =

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周期T=2Lft=a[0]/2+Σ[k=1→∞]a[k]coskπt/L+b[k]sinkπt/La[k]=1/L∫[-L→L]fxcoskπx/Ldxb[k]=1/L∫[-L→L]fxsinkπx/Ldxこれを適応します。L=1ですね。ft=a[0]/2+Σ[k=1→∞]a[k]coskπt+b[k]sinkπta[k]=∫[-1→1]fxcoskπxdxb[k]=∫[-1→1]fxsinkπxdxfx=1-1<x≦0=-x+10<x≦1を代入a[0]=∫[-1→1]fxdx= ∫[-1→0]1dx+∫[0→1]1-xdx=1+1/2=3/2a[k]=∫[-1→1]fxcoskπxdx=∫[-1→0]coskπxdx+ ∫[0→1]1-xcoskπxdx=∫[-1→1]coskπxdx-∫[0→1]xcoskπxdx=0-coskπ-1/kπ2={1–1^k}/kπ2b[k]=∫[-1→1]fxsinkπxdx=∫[-1→0]sinkπxdx+ ∫[0→1]1-xsinkπxdx=∫[-1→1]sinkπxdx-∫[0→1]xsinkπxdx=0+kπcoskπ/kπ2={kπ-1^k}/kπ2=-1^k/kπよってft=3/4+Σ[k=1→∞] {1–1^k}/kπ2 coskπt+ -1^k/kπsinkπt応用編t=0 とするとf0=1フーリエ級数ではよってf0=3/4+Σ[k=1→∞] {1–1^k}/kπ2だから1= 3/4+Σ[k=1→∞] {1–1^k}/kπ21/4= Σ[k=1→∞] {1–1^k}/kπ2π2/4= Σ[k=1→∞] {1–1^k}/k2=2/12+2/32+2/52+.よってπ2/8=1/12+1/32+1/52+.=Σ[k=1→∞]1/2k-12

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